Com hauràs notat, quant més petita és la base més probabilitat hi ha de que la divisió de l'unitat sigui periòdica, perquè té
. Molt utilitzada en la programació ja que té una relació bastant estreta amb la base binària i és més comprensible per a l'humà.
En realitat, totes les bases que siguin potència del mateix número estan relacionades (base 10 amb base 100, 1000, etc., base 2 amb base 4, 8, 16, etc.)
17, 1 setze i 1 unitat: 11
18, 1 setze i 2 unitats: 12
19, ··· 13
20, 14
21, 15
22, 16
23, 17
24, 18
25, 19
26, 1 setze i deu unitats: 1A
27, 1 setze i onze unitats: 1B
28, ··· 1C
29, 1D
30, 1E
31, 1F
32, 2 setzes i 0 unitats: 20
Com pots veure, les xifres augmenten més
lentament ja que tenim
més símbols.
En binari passa tot el contrari, les xifres augmenten molt
ràpidament ja que només tenim
2 símbols.
Saltarem els números fraccionaris ja que és el mateix que en binari però amb 1/16, 1/32, 1/64... i es faria
molt pesat.
En comptes d'això, analitzarem les
similituds entre la base 16 i la base 2 amb una taula:
(El símbol
' s'utilitza com a separador)
Així és, si agrupem els números binaris
de quatre en quatre (des de la dreta) i els hexadecimals
d'un en un, les seves parts
coincideixen.
Per exemple:
1'1010'1101 => 1 en hexadecimal seguit de 1010 en hexadecimal seguit de 1101 en hexadecimal => 1AD
AE4 => A (10) en binari seguit de E (14) en binari seguit de 4 en binari => 1010'1110'0100
Per tant, l'hexadecimal pot representar els números binaris
més compactament i d'una forma molt
més comprensible per a l'ésser humà, ja que només has de memoritzar els binaris del 0 al 15 i relacionar-los amb els símbols del 0 a la F.
Base unària:
Ara que ja hem explicat algunes de les bases més destacables, començarem amb les bases "estranyes".
La primera que veurem serà la base unària, la
base 1.
Les seves dues característiques són:
1.Només tenim
un símbol per a representar valors, l'1
2.Si afegim un número a l'esquerra, el seu valor es
multiplica per 1, si l'afegim a la dreta, es
divideix per 1:
Per tant, només començar ens trobem amb
3 problemes:
1.No podem representar el valor de 0
2.No podem representar valors no enters
3.Tots els números valen igual, estiguin més a la dreta, més a l'esquerra, davant o darrere del punt.
Intentem comptar fins a 5 amb aquestes condicions:
0,
no hi ha forma de representar aquest valor en la base unària, per tant s'ha d'expressar com a una operació aritmètica: 1 - 1
1, una unitat: 1
2, dues unitats: 11 ó 1.1
3, tres unitats: 111 ó 1.11 ó 11.1
4, quarte unitats: 1111 ó ···
5, cinc unitats: 11111 ó ···
Com pots veure, hi ha
més d'una forma de representar els valors. Per a ser més precisos, el número de formes amb les que es pot representar un valor és
aquest mateix valor (El 0 cap forma, l'1 una forma, el 2 dues, etc.)
Si intentem escriure números fraccionaris ens trobarem amb un problema
més gros encara:
1/2, 1 unitat es passa, però
no tenim res més petit que això, per tant ho hem d'expressar com a una operació: 1/11
5/2, 1 unitat és massa petita, 1 unitat + 1 unitat és massa petit, 1 unitat + 1 unitat + 1 unitat es passa, però nom tenim cap punt mig entre dues i tres unitats, per tant també ho hem d'expressar com a una operació: 11111/11
Així que, resumint, la base unària porta
molts problemes i no és recomanable utilitzar-la per a
fer càlculs, tot i que sí que l'utilitzem en el
dia a dia i és potser la forma de comptar
més antiga (encara que no utilitzaven uns sinó pals, rodones o altres símbols).
Bases fraccionàries:
Tot això està molt bé, però per què no ho compliquem una mica més?
Què passa si escollim una
base fraccionària, que no sigui sencera, com 2.5?
Si fem això la definició que hem estat utilitzant fins ara queda una mica destruïda, ja que diria que per a la base 2.5 s'utilitzen 2.5 símbols, i això no té cap ni peus.
Però qui ha dit que estàvem considerant "base X" = "X símbols"? En realitat el que consideràvem era "base X" = "
arrodonirCapAmunt(X) símbols", així que...
Les dues característiques de la base 2.5 són:
1.Tenim
3 símbols per a combinar (0, 1, 2)
2.Si afegim un número a l'esquerra, el seu valor es
multiplica per 2.5, si l'afegim a la dreta, es
divideix per 2.5:
Com sempre, provem a comptar amb aquesta configuració, fins a 3 aquesta vegada:
0,
tenim un símbol per al 0, per tant l'escrivim directament
1, igual que l'anterior
2, ···
3,
no tenim cap símbol per a quantitats més grans que 2, per tant les hem d'indicar com a
una suma de 2.5s, 6.25s, etc. Però espera, un 2.5 i 0 unitats (10) és 2.5, i un 2.5 i 1 unitat (11) és 3.5, per tant el 3 és un valor entre 10 i 11, necessitem recórrer als 1/2.5s, 1/6.25s, etc. Ho farem pas a pas:
2.5s: 0 i 1 són massa petits, 2 es passa, així que agafem l'1
1
Ara ens queda 3 - 2.5 = 0.5 per arribar al valor exacte
Unitats: 0 és més petit, 1 es passa així que agafem el 0
10
1/2.5s: 0 és més petit, 1 (0,4) és més petit, 2 (0,8) es passa, així que agafem l'1
10.1
Ara ens queda 0.5 - 0.4 = 0.1
1/6.25s: 0 és més petit, 1 (0.16) es passa, així que agafem el 0
10.10
1/15,625s: 0 és més petit, 1 (0.064) és més petit, 2 (0.128) es passa, així que agafem l'1
10.101
Ara ens queda 0.1 - 0.064 = 0.036
1/39,0625s: 0 és més petit, 1 (0.0256) és més petit, 2 (0.0512) es passa, així que agafem l'1
10.1011
Ara ens queda 0.036 - 0.0256 = 0.0104
1/97,65625s: 0 és més petit, 1 (0.01024) és més petit, 2 (0.02048) es passa, així que agafem l'1
10.10111
Ara ens queda 0.0104 - 0.01024 = 0.00016
······
Com pots veure, amb bases fraccionaries la cosa es complica bastant en quant a
càlculs, però el procediment
és el mateix que amb qualsevol altre base.
I específicament en la base 2.5, el 3 sembla que sigui... Irracional? Periòdic?
He introduït el càlcul a
Wolfram|Alpha, una potent calculadora, i el resultat que he obtingut és el següent:
10.101110000110121000111112100010020001001201001111100011001200012001201111000201002001010110110110120011112011000112000020200010202100110011100011010021002011110111000002001111001202020020100101002001112000120011111121001110110210110000102100200111020201011002020111111101200010020202001012100202012010120120120201101001020011010101010121000210011112000011011201210102010001000020011001112000210101001201001100110020010101020010120010010020101100111001000111110000020020000111111112100021000210001201112012001110101012002100201100000101020011202101001101112011101200100012100101200112100201110201010001011002001101121000011000021000001001201020102001110200010120002002020110101001120101110010000110200110111110011120102001000002100011200120001201200102001100002011001121010001201202010202000012000010010010111111020120110100120121001100101120020200011111111010011200200000011201120111200210001111101110011112101020202011200011202011201002010110201120002100110102100100200201002001100010100201110020202011210021001121011...
Amb aquestes 1017 xifres encara
no s'arriba al període, així que sospito que és irracional, encara que no ho poc assegurar.
Saltarem els valors fraccionaris perquè és més de la mateixa història i els càlculs s'embolicaran molt.
Així que, en conclusió, les bases fraccionàries
no són gens útils per al
dia a dia o per a fer
càlculs, ja que poden transformar un número tan simple com el 3 en un irracional (o periòdic?), però pot ser que arribin a
ser útils com a eines d'
encriptació de dades.
Base imaginària:
Per acabar, per si tot això fos poc, ens endinsarem en la base imaginària, la
base i.
Primer de tot, què és i? i és l'
unitat imaginària, que equival a l'
arrel quadrada de -1.
Per tant, ara sí que hem trencat totalment la definició de les bases, perquè quedaria:
En la base "i" tenim arrodonintCapAmunt(i) símbols, i això té encara menys sentit que 2.5 símbols.
Així que imaginarem que els símbols que podem utilitzar són 2, el 0 i l'1, per a indicar si es suma certa quantitat o no.
Definirem la base "i" amb aquestes dues característiques, doncs:
1.Tenim
2 símbols per a representar valors (0, 1)
2.Si afegim un número a l'esquerra, el seu valor es
multiplica per i, si l'afegim a la dreta, es
divideix per i:
Com que en aquest cas no es veu tan clarament, mirarem cada valor possible segons la posició:
··· | i | 1 | -i | -1 | i | UNITATS | -i | -1 | i | 1 | -i | ···
Com pots veure, el patró es repeteix indefinidament i només tenim 4 valors possibles, però amb ells podem representar qualssevol número enter positiu i negatiu, i qualsevol número complexe de la forma a + bi, sent a i b enters positius o negatius.
Comencem pels enters positius fins al 3:
0,
tenim un símbol per al 0, per tant l'escrivim directament
1, igual que l'anterior
2,
no tenim cap símbol per a quantitats més grans que 1, per tant les hem d'indicar com a
una suma dels valors esmentats anteriorment. En aquest cas son dues unitats, per tant ho podem expressar de dues formes: 10001 (1 unitat, 0 -is, 0 -1s, 0is, 1 unitat) ó 1.0001 (1 unitat, 0 -is, 0 -1s, 0 is, 1 unitat)
3, igual que l'anterior, el podem expressar com a: 100010001 ó 10001.0001 ó 1.00010001
*Nota: Per a veure-ho més clar recomano tenir una tira llarga al costat amb el patró de valors repetit unes quantes vegades.
Ara fem els enters negatius fins al -3:
0, ···
-1, 100 ó 0.01
-2, 1000100 ó 100.01 ó 0.010001
-3, 10001000100 ó 1000100.01 ó 100.010001 ó 0.0100010001
I per acabar, alguns nombres complexes arbitraris, en una taula per que es vegi més clar:
|
···1 |
-i |
-1 |
i |
1 |
-i |
-1 |
i |
Unitat |
-i |
-1 |
i |
1··· |
| i + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
| 2i - 1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
| -3i + 4 |
···1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1. |
1 |
0 |
0 |
1··· |
Tingues en compte que aquestes només son només
unes de les possibles representacions dels valors.
És més, si anem encara més enllà, podríem neutralitzar 1s amb -1s i is amb -is tantes vegades com volguéssim, de forma que cada valor tindria
infinites representacions (l'1 podria ser 11110001.1111, per exemple).
En conclusió, la base imaginària (amb 2 símbols) ens permet escriure una varietat de nombres
molt àmplia només amb 0s i 1s, però no és capaç de representar
punts intermedis (com 0.5 ó 3.4i).
I aquí acaba l'article.
Espero que hagis après alguna cosa sobre el funcionament de les bases en general i que t'hagis entretingut amb les bases "trenca ments" que he proposat ;)
Adrià Rico Blanes~
