*Aquest articles és llarg i dens, no és recomanable llegir-lo tot de cop, millor imprimir-lo o descansar de tant en tant*
Anirem poc a poc.
Primer, què significa "base 10"?
Base 10 significa dues coses:
Provarem de fer ara 1/3. Aquest cas és com l'anterior, però aquí ens trobem amb un problema:
·Comencem per les unitats:
Provem amb 0 unitats (0/1), igualem i comparem: 0/3 més o menys que 1/3? Menys.
Seguim, 1 unitat (1/1), igualem i comparem: 3/3 més o menys que 1/4? Més.
Agafem el valor que més s'hi apropi però que no es passi, el 0/1, 0 unitats.
Tornant al fil principal, acabarem la base 10 amb un altre exemple de número periòdic, en aquest cas de més d'una xifra.
Provem de fer 31/33:
·Comencem per les unitats:
Provem amb 0 unitats (0/1), igualem i comparem: 0/33 més o menys que 0/33? Menys.
Seguim amb 1 unitat (1/1), igualem i comparem: 33/33 més o menys que 31/33? Més.
Agafem el valor que més s'hi apropi però que no es passi, el 0/1, 0 unitats.
·Seguim per les dècimes:
Provem amb 0 dècimes (0/10), igualem i comparem: 0/330 més o menys que 310/330? Menys.
Seguim amb 1 dècima (1/10), igualem i comparem: 33/330 més o menys que 310/330? Menys.
·····
Seguim amb 8 dècimes (8/10), igualem i comparem: 264/330 més o menys que 310/330? Menys.
Acabem amb 9 dècimes (9/10), igualem i comparem: 297/330 més o menys que 310/330? Menys.
Agafem com sempre el més proper sense passar-se, en aquest cas 9/10 ó 9 dècimes.
0.9
Ara calculem el que ens queda: 31/33 - 9/10 = 310/330 - 297/330 = 13/330
·Utilitzem aquest valor per a comprar amb les centèsimes:
Provem amb 0 centèsimes (0/100), igualem i comparem: 0/3300 més o menys que 130/3300? Menys.
Seguim amb 1 centèsima (1/100), igualem i comparem: 33/3300 més o menys que 130/3300? Menys.
Saltem a 3 centèsimes (3/100), igualem i comprarem: 99/3300 més o menys que 130/3300? Menys.
Acabem amb 4 centèsimes (4/100), igualem i comparem: 132 més o menys que 130/3300? Més.
Agafem el 3/100 ó 3 centèsimes.
0.93
Calculem el que ens queda per al valor exacte: 13/330 - 3/100 = 130/3300 - 99/3300 = 31/3300
·Utilitzem aquest valor per a comprar amb les mil·lèsimes:
Provem amb 0 mil·lèsimes (0/1000), igualem i comparem: 0/33000 més o menys que 310/33000? Menys.
Seguim amb 1 mil·lèsima (1/1000), igualem i comparem: 33/33000 més o menys que 310/33000? Menys.
·······
Seguim amb 8 mil·lèsimes (8/1000), igualem i comparem: 264/33000 més o menys que 310/33000? Menys.
Acabem amb 9 mil·lèsimes (9/1000), igualem i comparem: 297/33000 més o menys que 310/33000? Menys.
Agafem el 9/1000 ó 9 mil·lèsimes:
0.939
Calculem el que ens falta: 31/3300 - 9/1000 = 310/33000 - 297/33000 = 13/33000
Oh! Què està passant aquí? No tens una sensació de Déjà vu des de fa una estona? Exacte, les fraccions s'estan repetint però disminuint el seu valor en 100 cada cop. Estem igual que abans, amb la diferència que ara no és només una fracció la que es repeteix sinó una sèrie.
Esquema:
Ens queda 31/33 per arribar -> Afegim 9/10 (9 dècimes)
Ens queda 13/330 per arribar -> Afegim 3/100 (3 centèsimes)
Ens queda 31/3300 per arribar -> Afegim 9/1000 (9 mil·lèsimes)
Ens queda 13/33000 per arribar -> Afegim 3/10000 (3 deumil·lèsimes)
·············
Bé, ja hem vist com funciona i com es construeixen els números amb la base 10.
Ara li farem un cop d'ull a algunes altres bases d'importància i a bases estranyes com la unitària, les fraccionàries ó la imaginària.
1.Tenim 10 símbols per a representar valors (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2.Si afegim un número a l'esquerra, el seu valor es multiplica per 10, si l'afegim a la dreta, es divideix per 10:
Sabent això, provarem a comptar fins a 12:
0, tenim un símbol per al 0, per tant l'escrivim directament
1, igual que l'anterior
2, ···
3, ···
4, ···
5, ···
6, ···
7, ···
8, ···
9, ···
10, no tenim cap símbol per a quantitats més grans que 9, per tant les hem d'indicar com a una suma d'unitats, desenes, centenes, etc. En aquest cas és 1 desena i 0 unitats: 10.
11, indiquem 1 desena i 1 unitat (10+1)
12, indiquem 1 desena i 2 unitats (10+2)
Fàcil, veritat?
Provem ara amb números fraccionaris:
1/4, tampoc tenim cap símbol per a valors no enters, per tant els hem d'indicar com a una suma de dècimes, centèsimes, etc. Però com sabem quina és aquesta suma? Ho farem pas a pas:
·Comencem per les unitats:
Provem amb 0 unitats (0/1), igualem el denominador i comparem: 0/4 és més gran o més petit que 1/4? Més petit.
Seguim, 1 unitat (1/1), igualem denominador i comparem: 4/4 és més gran o més petit que 1/4? Més gran.
Com que no hem aconseguit cap valor que doni exacte, agafem el que sigui més proper però que no es passi, el 0/1, que són 0 unitats.
0.
·Anem ara a les dècimes:
Provem amb 0 dècimes (0/10), igualem el denominador i comparem: 0/40 és més gran o més petit que 10/40? Més petit.
Seguim, 1 dècima (1/10), igualem el denominador i comparem: 4/40 és més gran o més petit que 10/40? Més petit.
Seguim, 2 dècimes (2/10), igualem el denominador i comparem: 8/40 és més gran o més petit que 10/40? Més petit.
Per últim, 3 dècimes (3/10), igualem denominador i comparem: 12/40, més gran o més petit que 10/40? Més gran.
Com que seguim sense tenir cap valor exacte, agafem de nou el que sigui més proper però que no es passi, el 2/10 que són 10 dècimes.
0.2
Ara hem de calcular el que ens queda per arribar al valor exacte: 1/4 - 2/10 = 10/40 - 8/40 = 2/40.
·Utilitzarem aquest valor per a comprar amb les centèsimes:
Provem amb 0 centèsimes (0/100), igualem i comparem: 0/400 més o menys que 20/400? Menys.
Seguim amb 1 centèsima (1/100), igualem i comparem: 4/400 més o menys que 20/400? Menys.
·······
Passem a 4 centèsimes (4/100), igualem i comparem: 16/400 més o menys que 20/400? Menys.
Finalment, provem amb 5 centèsimes (5/100), igualem i comparem: 20/400 més o menys que 20/400? Igual. Hem arribat al valor exacte! La solució a 1/4 en sistema decimal és, per tant, 0 unitats, 2 dècimes i 5 centèsimes, és a dir, 0.25
Fàcil, veritat?
Provem ara amb números fraccionaris:
1/4, tampoc tenim cap símbol per a valors no enters, per tant els hem d'indicar com a una suma de dècimes, centèsimes, etc. Però com sabem quina és aquesta suma? Ho farem pas a pas:
·Comencem per les unitats:
Provem amb 0 unitats (0/1), igualem el denominador i comparem: 0/4 és més gran o més petit que 1/4? Més petit.
Seguim, 1 unitat (1/1), igualem denominador i comparem: 4/4 és més gran o més petit que 1/4? Més gran.
Com que no hem aconseguit cap valor que doni exacte, agafem el que sigui més proper però que no es passi, el 0/1, que són 0 unitats.
0.
·Anem ara a les dècimes:
Provem amb 0 dècimes (0/10), igualem el denominador i comparem: 0/40 és més gran o més petit que 10/40? Més petit.
Seguim, 1 dècima (1/10), igualem el denominador i comparem: 4/40 és més gran o més petit que 10/40? Més petit.
Seguim, 2 dècimes (2/10), igualem el denominador i comparem: 8/40 és més gran o més petit que 10/40? Més petit.
Per últim, 3 dècimes (3/10), igualem denominador i comparem: 12/40, més gran o més petit que 10/40? Més gran.
Com que seguim sense tenir cap valor exacte, agafem de nou el que sigui més proper però que no es passi, el 2/10 que són 10 dècimes.
0.2
Ara hem de calcular el que ens queda per arribar al valor exacte: 1/4 - 2/10 = 10/40 - 8/40 = 2/40.
·Utilitzarem aquest valor per a comprar amb les centèsimes:
Provem amb 0 centèsimes (0/100), igualem i comparem: 0/400 més o menys que 20/400? Menys.
Seguim amb 1 centèsima (1/100), igualem i comparem: 4/400 més o menys que 20/400? Menys.
·······
Passem a 4 centèsimes (4/100), igualem i comparem: 16/400 més o menys que 20/400? Menys.
Finalment, provem amb 5 centèsimes (5/100), igualem i comparem: 20/400 més o menys que 20/400? Igual. Hem arribat al valor exacte! La solució a 1/4 en sistema decimal és, per tant, 0 unitats, 2 dècimes i 5 centèsimes, és a dir, 0.25
Provarem de fer ara 1/3. Aquest cas és com l'anterior, però aquí ens trobem amb un problema:
·Comencem per les unitats:
Provem amb 0 unitats (0/1), igualem i comparem: 0/3 més o menys que 1/3? Menys.
Seguim, 1 unitat (1/1), igualem i comparem: 3/3 més o menys que 1/4? Més.
Agafem el valor que més s'hi apropi però que no es passi, el 0/1, 0 unitats.
0
·Anem ara a les dècimes:
Provem amb 0 dècimes (0/10), igualem i comparem: 0/30 més o menys que 10/30? Menys.
Provem amb 0 dècimes (0/10), igualem i comparem: 0/30 més o menys que 10/30? Menys.
Seguim amb 1 dècima (1/10), igualem i comparem: 3/30 més o menys que 10/30? Menys.
Seguim amb 2 dècimes (2/10), igualem i comparem: 6/30 més o menys que 10/30? Menys.
Seguim amb 3 dècimes (3/10), igualem i comparem: 9/30 més o menys que 10/30? Per poc, però menys.
Acabem amb 4 dècimes (4/10), igualem i comparem: 12/30 més o menys que 10/30? Més.
Com sempre, agafem el valor més proper però que no es passi, el 3/10 ó 3 dècimes.
0.3
Ara calculem el que ens queda per arribar al valor exacte: 1/3 - 3/10 = 10/30 - 9/30 = 1/30
·Utilitzem aquest valor per a comprar amb les centèsimes:
Provem amb 1 centèsima (0/100), igualem i comparem: 0/300 més o menys que 10/300? Menys.
Seguim amb 2 dècimes (2/10), igualem i comparem: 6/30 més o menys que 10/30? Menys.
Seguim amb 3 dècimes (3/10), igualem i comparem: 9/30 més o menys que 10/30? Per poc, però menys.
Acabem amb 4 dècimes (4/10), igualem i comparem: 12/30 més o menys que 10/30? Més.
Com sempre, agafem el valor més proper però que no es passi, el 3/10 ó 3 dècimes.
0.3
Ara calculem el que ens queda per arribar al valor exacte: 1/3 - 3/10 = 10/30 - 9/30 = 1/30
·Utilitzem aquest valor per a comprar amb les centèsimes:
Provem amb 1 centèsima (0/100), igualem i comparem: 0/300 més o menys que 10/300? Menys.
·····
Seguim amb 3 centèsimes (3/100), igualem i comparem: 9/300 més o menys que 10/300? Menys.
Acabem amb 4 centèsimes (4/100), igualem i comparem: 12/300 més o menys que 10/300? Més.
Agafem el 3/100 ó 3 centèsimes.
0.33
Calculem el que ens queda per arribar al valor exacte: 1/30 - 3/100 = 10/300 - 9/300 = 1/300
Oh! Això no és molt semblant al d'abans? Sempre anem aconseguint una resta que és 10 vegades més petita que l'anterior: de 1/3 a 1/30, de 1/30 a 1/300..., i cada cop sumem coses 10 vegades més petites: d'unitats a dècimes, de dècimes a centèsimes..., per tant, el resultat que obtindrem serà sempre el mateix.
Una explicació esquemàtica:
Ens queda 1/3 per arribar -> Afegim 3/10 (3 dècimes)
Ens queda 1/30 per arribar -> Afegim 3/100 (3 centèsimes)
Ens queda 1/300 per arribar -> Afegim 3/1000 (3 mil·lèsimes)
············
Seguim amb 3 centèsimes (3/100), igualem i comparem: 9/300 més o menys que 10/300? Menys.
Acabem amb 4 centèsimes (4/100), igualem i comparem: 12/300 més o menys que 10/300? Més.
Agafem el 3/100 ó 3 centèsimes.
0.33
Calculem el que ens queda per arribar al valor exacte: 1/30 - 3/100 = 10/300 - 9/300 = 1/300
Oh! Això no és molt semblant al d'abans? Sempre anem aconseguint una resta que és 10 vegades més petita que l'anterior: de 1/3 a 1/30, de 1/30 a 1/300..., i cada cop sumem coses 10 vegades més petites: d'unitats a dècimes, de dècimes a centèsimes..., per tant, el resultat que obtindrem serà sempre el mateix.
Una explicació esquemàtica:
Ens queda 1/3 per arribar -> Afegim 3/10 (3 dècimes)
Ens queda 1/30 per arribar -> Afegim 3/100 (3 centèsimes)
Ens queda 1/300 per arribar -> Afegim 3/1000 (3 mil·lèsimes)
············
Així és, no podem arribar mai a una suma que doni aquest valor exactament, el número és periòdic, és un 0 seguit d'infinits tresos.
Però és periòdic per què la cosa ha anat així en aquesta base, pot ser que en altres bases no ho sigui i tingui una representació exacta.
Fa un temps vaig llegir per la web un comentari d'algú que deia que "els números periòdics i irracionals són impossibles de mesurar exactament a la vida real". Els seus arguments eren que "mai pots arribar al número, per què si t'hi vas apropant i apropant al final arribaràs al nivell atòmic i hauràs de dividir un àtom, cosa que no és possible".
Aquesta afirmació no és correcte perquè, com he esmentat abans, un número periòdic en base 10 pot ser un número exacte en altres bases, i pot representar-se a la vida real com qualsevol altre.
Aquesta afirmació no és correcte perquè, com he esmentat abans, un número periòdic en base 10 pot ser un número exacte en altres bases, i pot representar-se a la vida real com qualsevol altre.
Tornant al fil principal, acabarem la base 10 amb un altre exemple de número periòdic, en aquest cas de més d'una xifra.
Provem de fer 31/33:
·Comencem per les unitats:
Provem amb 0 unitats (0/1), igualem i comparem: 0/33 més o menys que 0/33? Menys.
Seguim amb 1 unitat (1/1), igualem i comparem: 33/33 més o menys que 31/33? Més.
Agafem el valor que més s'hi apropi però que no es passi, el 0/1, 0 unitats.
·Seguim per les dècimes:
Provem amb 0 dècimes (0/10), igualem i comparem: 0/330 més o menys que 310/330? Menys.
Seguim amb 1 dècima (1/10), igualem i comparem: 33/330 més o menys que 310/330? Menys.
·····
Seguim amb 8 dècimes (8/10), igualem i comparem: 264/330 més o menys que 310/330? Menys.
Acabem amb 9 dècimes (9/10), igualem i comparem: 297/330 més o menys que 310/330? Menys.
Agafem com sempre el més proper sense passar-se, en aquest cas 9/10 ó 9 dècimes.
0.9
Ara calculem el que ens queda: 31/33 - 9/10 = 310/330 - 297/330 = 13/330
·Utilitzem aquest valor per a comprar amb les centèsimes:
Provem amb 0 centèsimes (0/100), igualem i comparem: 0/3300 més o menys que 130/3300? Menys.
Seguim amb 1 centèsima (1/100), igualem i comparem: 33/3300 més o menys que 130/3300? Menys.
Saltem a 3 centèsimes (3/100), igualem i comprarem: 99/3300 més o menys que 130/3300? Menys.
Acabem amb 4 centèsimes (4/100), igualem i comparem: 132 més o menys que 130/3300? Més.
Agafem el 3/100 ó 3 centèsimes.
0.93
Calculem el que ens queda per al valor exacte: 13/330 - 3/100 = 130/3300 - 99/3300 = 31/3300
·Utilitzem aquest valor per a comprar amb les mil·lèsimes:
Provem amb 0 mil·lèsimes (0/1000), igualem i comparem: 0/33000 més o menys que 310/33000? Menys.
Seguim amb 1 mil·lèsima (1/1000), igualem i comparem: 33/33000 més o menys que 310/33000? Menys.
·······
Seguim amb 8 mil·lèsimes (8/1000), igualem i comparem: 264/33000 més o menys que 310/33000? Menys.
Acabem amb 9 mil·lèsimes (9/1000), igualem i comparem: 297/33000 més o menys que 310/33000? Menys.
Agafem el 9/1000 ó 9 mil·lèsimes:
0.939
Calculem el que ens falta: 31/3300 - 9/1000 = 310/33000 - 297/33000 = 13/33000
Oh! Què està passant aquí? No tens una sensació de Déjà vu des de fa una estona? Exacte, les fraccions s'estan repetint però disminuint el seu valor en 100 cada cop. Estem igual que abans, amb la diferència que ara no és només una fracció la que es repeteix sinó una sèrie.
Esquema:
Ens queda 31/33 per arribar -> Afegim 9/10 (9 dècimes)
Ens queda 13/330 per arribar -> Afegim 3/100 (3 centèsimes)
Ens queda 31/3300 per arribar -> Afegim 9/1000 (9 mil·lèsimes)
Ens queda 13/33000 per arribar -> Afegim 3/10000 (3 deumil·lèsimes)
·············
Bé, ja hem vist com funciona i com es construeixen els números amb la base 10.
Ara li farem un cop d'ull a algunes altres bases d'importància i a bases estranyes com la unitària, les fraccionàries ó la imaginària.
Base 12:
No entraré molt en aquesta base, només vull introduir-la com a curiositat.
La base 12 és la base que un grup de persones afirma que hauria de substituir la decimal.
Per què? Et preguntaràs. La raó es ben senzilla: Pels divisors que té.
Per què? Et preguntaràs. La raó es ben senzilla: Pels divisors que té.
El 10 està format per 2·5, per tant, en la base 10 podem dividir la unitat entre 2 i les seves potències, entre 5 i les seves potències i entre multiplicacions dels anteriors números sense problemes: 1/2 = 0.5, 1/5 = 0.2, 1/4 = 0.25, 1/10 = 0.1
Però si intenten dividir entre 3 o qualsevol altra cosa, ens trobarem amb sumes infinites: 1/3 = 0.33333···, 1/6 = 0.16666···
En canvi, el 12 està format per 2·2·3, per tant, en la base 12 podem dividir la unitat entre 2 i les seves potències, entre 3 i les seves potències i entre multiplicacions del anteriors números sense problemes: 1/2 = 0.6, 1/3 = 0.4, 1/4 = 0.3, 1/6 = 0.2
Però si ara intentem dividir entre 5 o qualsevol altra cosa, ens troben un altre cop amb sumes infinites: 1/5 = 0.24972497···, 1/10 = 0.1249724972···
Però si ara intentem dividir entre 5 o qualsevol altra cosa, ens troben un altre cop amb sumes infinites: 1/5 = 0.24972497···, 1/10 = 0.1249724972···
Així que en resum, les divisions exactes de l'unitat en base 10 són: 1/2, 1/4, 1/5, 1/8, 1/10, etc.
I les de la base 12 són: 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 1/12, etc.
Alguns creuen que seria millor així, d'altres pensen que la base decimal ja està bé.
Com a dada d'interès, els dos símbols extres proposats per a la base 12 son una X i una E amb les vores arrodonides.
Com a dada d'interès, els dos símbols extres proposats per a la base 12 son una X i una E amb les vores arrodonides.
Base 2:
El binari: l'idioma que entén l'electrònica i els ordinadors.
Com a programador aficionat que sóc, li tinc molt d'afecte.
Les seves dues característiques son les següents:
Les seves dues característiques son les següents:
1.Tenim 2 símbols per a representar valors (0, 1)
2.Si afegim un número a l'esquerra, el seu valor es multiplica per 2, si l'afegim a la dreta, es divideix per 2:
Sabent això, provem a comptar fins a 15:
0, tenim un símbol per al 0, per tant l'escrivim directament
1, igual que l'anterior
2, no tenim cap símbol per a quantitats més grans que 1, per tant les hem d'indicar com a una suma de parells, quartets, octets, etc. En aquest cas és 1 parell i 0 unitats: 10.
3, 1 parell i 1 unitat: 11
3, 1 parell i 1 unitat: 11
4, 1 quartet, 0 parells i 0 unitats: 100
5, 1 quartet, 0 parells i 1 unitat: 101
6, 1 quartet, 1 parell i 0 unitats: 110
7, 1 quartet, 1 parell i 1 unitat: 111
8, 1 octet, ····: 1000
5, 1 quartet, 0 parells i 1 unitat: 101
6, 1 quartet, 1 parell i 0 unitats: 110
7, 1 quartet, 1 parell i 1 unitat: 111
8, 1 octet, ····: 1000
9, 1001
10, 1010
11, 1011
12, 1100
13, 1101
14, 1110
15, 1 octet, 1 quartet, 1 parell i 1 unitat (8+4+2+1): 1111
Es pot apreciar que és molt similar a la base 10, per què la descripció que he fet al principi serveix per a qualsevol base.
10, 1010
11, 1011
12, 1100
13, 1101
14, 1110
15, 1 octet, 1 quartet, 1 parell i 1 unitat (8+4+2+1): 1111
Es pot apreciar que és molt similar a la base 10, per què la descripció que he fet al principi serveix per a qualsevol base.
Anem ara als números fraccionaris:
1/2, tampoc tenim cap símbol per a valors no enters, per tant els hem d'indicar com a una suma de mitjos, quarts, etc. Però tornem a estar com amb la base decimal, com sabem quina és aquesta suma? En aquest cas específic es veu clarament que és 1 mig, que es representa de la forma 0.1 (0 unitats 1 mig), però...
1/5, en aquest cas, què fem? Tenim dues opcions:
1.Binari pur
Podem aplicar el mateix procediment que en base 10, comparant fraccions, però en binari. Això es pot fer bastant tediós, així que no utilitzarem aquest mètode.
2.En decimal
També podem fer la divisió en base decimal i després transformar el resultat en binari. Aquest és el mètode que utilitzarem ja que és més ràpid i senzill.
Dividim ara, doncs, 1/5:
·Comencem trobant el resultat de referència en decimal: 0.2
·Comparem les unitats: Com que en binari només podem escollir 1 ó 0, si l'1 es passa, el número que haurem de posar serà sempre el 0, i si no es passa, el número que haurem de posar serà sempre l'1, per tant només ens cal comparar aquest. 1 unitat (1) es passa, per tant agafem el 0.
0
·Seguim amb els mitjos: 1 mig (0.5) es passa, per tant agafem el 0.
0.0
·Seguim amb els quarts: 1 quart (0.25) es passa, per tant hem d'agafar el 0.
1.Binari pur
Podem aplicar el mateix procediment que en base 10, comparant fraccions, però en binari. Això es pot fer bastant tediós, així que no utilitzarem aquest mètode.
2.En decimal
També podem fer la divisió en base decimal i després transformar el resultat en binari. Aquest és el mètode que utilitzarem ja que és més ràpid i senzill.
Dividim ara, doncs, 1/5:
·Comencem trobant el resultat de referència en decimal: 0.2
·Comparem les unitats: Com que en binari només podem escollir 1 ó 0, si l'1 es passa, el número que haurem de posar serà sempre el 0, i si no es passa, el número que haurem de posar serà sempre l'1, per tant només ens cal comparar aquest. 1 unitat (1) es passa, per tant agafem el 0.
0
·Seguim amb els mitjos: 1 mig (0.5) es passa, per tant agafem el 0.
0.0
·Seguim amb els quarts: 1 quart (0.25) es passa, per tant hem d'agafar el 0.
0.00
·Seguim amb els vuitens: (1/8): 1 vuitè (0.125) és més petit, per tant hem d'agafar-lo.
·Seguim amb els vuitens: (1/8): 1 vuitè (0.125) és més petit, per tant hem d'agafar-lo.
0.001
Ara ens queda 0.2 - 0.125 = 0.075 per arribar al valor exacte.
·Utilitzem aquest valor per a comprar amb els setzens: 1 setzè (0.0625) és més petit, per tant hem d'agafar-lo.
·Utilitzem aquest valor per a comprar amb els setzens: 1 setzè (0.0625) és més petit, per tant hem d'agafar-lo.
0.0011
Ara ens queda 0.075 - 0.0625 = 0.0125
·Comparem amb els trenta-dosens: 1 trenta-dosè (0.03125) es passa, per tant hem d'agafar el 0.
0.00110
·Seguim amb els seixanta-quatrens: 1 seixanta-quatrè (0.015625) es passa, per tant hem d'agafar el 0.
0.001100
·Seguim amb els cent-vint-i-vuitens: 1 cent-vint-i-vuitè (0.0078125) és més petit, per tant hem d'agafar-lo.
0.0011001
Ara ens queda 0.0125 - 0.0078125 = 0.0046875
·Comparem amb els dos-cents-cinquanta-sisens: 1 dos-cents-cinquanta-sisè (0.00390625) és més petit, per tant hem d'agafar-lo.
·Comparem amb els trenta-dosens: 1 trenta-dosè (0.03125) es passa, per tant hem d'agafar el 0.
0.00110
·Seguim amb els seixanta-quatrens: 1 seixanta-quatrè (0.015625) es passa, per tant hem d'agafar el 0.
0.001100
·Seguim amb els cent-vint-i-vuitens: 1 cent-vint-i-vuitè (0.0078125) és més petit, per tant hem d'agafar-lo.
0.0011001
Ara ens queda 0.0125 - 0.0078125 = 0.0046875
·Comparem amb els dos-cents-cinquanta-sisens: 1 dos-cents-cinquanta-sisè (0.00390625) és més petit, per tant hem d'agafar-lo.
0.00110011
Ara ens queda 0.0046875 - 0.00390625 = 0.00078125
0.001100110
······
Així és, en binari 1/5 és 0.0011001100110011···, és un número periòdic, mentre que en decimal és exacte (0.2)
És més, la base 2 només te un divisor, el 2, per tant només es por dividir l'unitat entre potències de 2, qualsevol altre cosa serà periòdica.
Com hauràs notat, quant més petita és la base més probabilitat hi ha de que la divisió de l'unitat sigui periòdica, perquè té menys divisors.
Base 16:
La base hexadecimal. Molt utilitzada en la programació ja que té una relació bastant estreta amb la base binària i és més comprensible per a l'humà.
En realitat, totes les bases que siguin potència del mateix número estan relacionades (base 10 amb base 100, 1000, etc., base 2 amb base 4, 8, 16, etc.)
Les dues característiques d'aquesta base són:
1.Tenim 16 símbols per a representar valors (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F)
2.Si afegim un número a l'esquerra, el seu valor es multiplica per 16, si l'afegim a la dreta, es divideix per 16:
Sabent això, provem a comptar fins a 32:
Base 16:
La base hexadecimal. Molt utilitzada en la programació ja que té una relació bastant estreta amb la base binària i és més comprensible per a l'humà.
En realitat, totes les bases que siguin potència del mateix número estan relacionades (base 10 amb base 100, 1000, etc., base 2 amb base 4, 8, 16, etc.)
Les dues característiques d'aquesta base són:
1.Tenim 16 símbols per a representar valors (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F)
2.Si afegim un número a l'esquerra, el seu valor es multiplica per 16, si l'afegim a la dreta, es divideix per 16:
Sabent això, provem a comptar fins a 32:
0, tenim un símbol per al 0, per tant l'escrivim directament
1, igual que l'anterior
2, ···
3, ···
4, ···
5, ···
6, ···
7, ···
8, ···
9, ···
10, encara tenim un símbol per a aquest valor, per tant l'escrivim directament: A
11, igual que l'anterior: B
12, C
13, D
14, E
15, F
16, no tenim cap símbol per a quantitats més grans que 15, per tant les hem d'indicar com a una suma de setzes, trenta-dosos, seixanta-quatres, etc. En aquest cas és 1 setze i 0 unitats: 10.
11, igual que l'anterior: B
12, C
13, D
14, E
15, F
16, no tenim cap símbol per a quantitats més grans que 15, per tant les hem d'indicar com a una suma de setzes, trenta-dosos, seixanta-quatres, etc. En aquest cas és 1 setze i 0 unitats: 10.
17, 1 setze i 1 unitat: 11
18, 1 setze i 2 unitats: 12
19, ··· 13
20, 14
21, 15
22, 16
23, 17
24, 18
25, 19
26, 1 setze i deu unitats: 1A
27, 1 setze i onze unitats: 1B
28, ··· 1C
29, 1D
30, 1E
31, 1F
32, 2 setzes i 0 unitats: 20
Com pots veure, les xifres augmenten més lentament ja que tenim més símbols.
En binari passa tot el contrari, les xifres augmenten molt ràpidament ja que només tenim 2 símbols.
Saltarem els números fraccionaris ja que és el mateix que en binari però amb 1/16, 1/32, 1/64... i es faria molt pesat.
En comptes d'això, analitzarem les similituds entre la base 16 i la base 2 amb una taula:
(El símbol ' s'utilitza com a separador)
Així és, si agrupem els números binaris de quatre en quatre (des de la dreta) i els hexadecimals d'un en un, les seves parts coincideixen.
Per exemple:
1'1010'1101 => 1 en hexadecimal seguit de 1010 en hexadecimal seguit de 1101 en hexadecimal => 1AD
AE4 => A (10) en binari seguit de E (14) en binari seguit de 4 en binari => 1010'1110'0100
Per tant, l'hexadecimal pot representar els números binaris més compactament i d'una forma molt més comprensible per a l'ésser humà, ja que només has de memoritzar els binaris del 0 al 15 i relacionar-los amb els símbols del 0 a la F.
Base unària:
Ara que ja hem explicat algunes de les bases més destacables, començarem amb les bases "estranyes".
La primera que veurem serà la base unària, la base 1.
Les seves dues característiques són:
1.Només tenim un símbol per a representar valors, l'1
2.Si afegim un número a l'esquerra, el seu valor es multiplica per 1, si l'afegim a la dreta, es divideix per 1:
Per tant, només començar ens trobem amb 3 problemes:
1.No podem representar el valor de 0
2.No podem representar valors no enters
3.Tots els números valen igual, estiguin més a la dreta, més a l'esquerra, davant o darrere del punt.
Intentem comptar fins a 5 amb aquestes condicions:
0, no hi ha forma de representar aquest valor en la base unària, per tant s'ha d'expressar com a una operació aritmètica: 1 - 1
1, una unitat: 1
2, dues unitats: 11 ó 1.1
3, tres unitats: 111 ó 1.11 ó 11.1
4, quarte unitats: 1111 ó ···
5, cinc unitats: 11111 ó ···
Com pots veure, hi ha més d'una forma de representar els valors. Per a ser més precisos, el número de formes amb les que es pot representar un valor és aquest mateix valor (El 0 cap forma, l'1 una forma, el 2 dues, etc.)
Si intentem escriure números fraccionaris ens trobarem amb un problema més gros encara:
1/2, 1 unitat es passa, però no tenim res més petit que això, per tant ho hem d'expressar com a una operació: 1/11
5/2, 1 unitat és massa petita, 1 unitat + 1 unitat és massa petit, 1 unitat + 1 unitat + 1 unitat es passa, però nom tenim cap punt mig entre dues i tres unitats, per tant també ho hem d'expressar com a una operació: 11111/11
Així que, resumint, la base unària porta molts problemes i no és recomanable utilitzar-la per a fer càlculs, tot i que sí que l'utilitzem en el dia a dia i és potser la forma de comptar més antiga (encara que no utilitzaven uns sinó pals, rodones o altres símbols).
Bases fraccionàries:
Tot això està molt bé, però per què no ho compliquem una mica més?
Què passa si escollim una base fraccionària, que no sigui sencera, com 2.5?
Si fem això la definició que hem estat utilitzant fins ara queda una mica destruïda, ja que diria que per a la base 2.5 s'utilitzen 2.5 símbols, i això no té cap ni peus.
Però qui ha dit que estàvem considerant "base X" = "X símbols"? En realitat el que consideràvem era "base X" = "arrodonirCapAmunt(X) símbols", així que...
Les dues característiques de la base 2.5 són:
1.Tenim 3 símbols per a combinar (0, 1, 2)
2.Si afegim un número a l'esquerra, el seu valor es multiplica per 2.5, si l'afegim a la dreta, es divideix per 2.5:
Com sempre, provem a comptar amb aquesta configuració, fins a 3 aquesta vegada:
0, tenim un símbol per al 0, per tant l'escrivim directament
1, igual que l'anterior
2, ···
3, no tenim cap símbol per a quantitats més grans que 2, per tant les hem d'indicar com a una suma de 2.5s, 6.25s, etc. Però espera, un 2.5 i 0 unitats (10) és 2.5, i un 2.5 i 1 unitat (11) és 3.5, per tant el 3 és un valor entre 10 i 11, necessitem recórrer als 1/2.5s, 1/6.25s, etc. Ho farem pas a pas:
2.5s: 0 i 1 són massa petits, 2 es passa, així que agafem l'1
1
Ara ens queda 3 - 2.5 = 0.5 per arribar al valor exacte
Unitats: 0 és més petit, 1 es passa així que agafem el 0
10
1/2.5s: 0 és més petit, 1 (0,4) és més petit, 2 (0,8) es passa, així que agafem l'1
10.1
Ara ens queda 0.5 - 0.4 = 0.1
1/6.25s: 0 és més petit, 1 (0.16) es passa, així que agafem el 0
10.10
1/15,625s: 0 és més petit, 1 (0.064) és més petit, 2 (0.128) es passa, així que agafem l'1
10.101
Ara ens queda 0.1 - 0.064 = 0.036
1/39,0625s: 0 és més petit, 1 (0.0256) és més petit, 2 (0.0512) es passa, així que agafem l'1
10.1011
Ara ens queda 0.036 - 0.0256 = 0.0104
1/97,65625s: 0 és més petit, 1 (0.01024) és més petit, 2 (0.02048) es passa, així que agafem l'1
10.10111
Ara ens queda 0.0104 - 0.01024 = 0.00016
······
Com pots veure, amb bases fraccionaries la cosa es complica bastant en quant a càlculs, però el procediment és el mateix que amb qualsevol altre base.
I específicament en la base 2.5, el 3 sembla que sigui... Irracional? Periòdic?
He introduït el càlcul a Wolfram|Alpha, una potent calculadora, i el resultat que he obtingut és el següent:
Amb aquestes 1017 xifres encara no s'arriba al període, així que sospito que és irracional, encara que no ho poc assegurar.
Saltarem els valors fraccionaris perquè és més de la mateixa història i els càlculs s'embolicaran molt.
Així que, en conclusió, les bases fraccionàries no són gens útils per al dia a dia o per a fer càlculs, ja que poden transformar un número tan simple com el 3 en un irracional (o periòdic?), però pot ser que arribin a ser útils com a eines d'encriptació de dades.
Base imaginària:
Per acabar, per si tot això fos poc, ens endinsarem en la base imaginària, la base i.
Primer de tot, què és i? i és l'unitat imaginària, que equival a l'arrel quadrada de -1.
Per tant, ara sí que hem trencat totalment la definició de les bases, perquè quedaria:
En la base "i" tenim arrodonintCapAmunt(i) símbols, i això té encara menys sentit que 2.5 símbols.
Així que imaginarem que els símbols que podem utilitzar són 2, el 0 i l'1, per a indicar si es suma certa quantitat o no.
Definirem la base "i" amb aquestes dues característiques, doncs:
1.Tenim 2 símbols per a representar valors (0, 1)
2.Si afegim un número a l'esquerra, el seu valor es multiplica per i, si l'afegim a la dreta, es divideix per i:
Com que en aquest cas no es veu tan clarament, mirarem cada valor possible segons la posició:
··· | i | 1 | -i | -1 | i | UNITATS | -i | -1 | i | 1 | -i | ···
Com pots veure, el patró es repeteix indefinidament i només tenim 4 valors possibles, però amb ells podem representar qualssevol número enter positiu i negatiu, i qualsevol número complexe de la forma a + bi, sent a i b enters positius o negatius.
Comencem pels enters positius fins al 3:
0, tenim un símbol per al 0, per tant l'escrivim directament
1, igual que l'anterior
2, no tenim cap símbol per a quantitats més grans que 1, per tant les hem d'indicar com a una suma dels valors esmentats anteriorment. En aquest cas son dues unitats, per tant ho podem expressar de dues formes: 10001 (1 unitat, 0 -is, 0 -1s, 0is, 1 unitat) ó 1.0001 (1 unitat, 0 -is, 0 -1s, 0 is, 1 unitat)
3, igual que l'anterior, el podem expressar com a: 100010001 ó 10001.0001 ó 1.00010001
*Nota: Per a veure-ho més clar recomano tenir una tira llarga al costat amb el patró de valors repetit unes quantes vegades.
Ara fem els enters negatius fins al -3:
0, ···
-1, 100 ó 0.01
-2, 1000100 ó 100.01 ó 0.010001
-3, 10001000100 ó 1000100.01 ó 100.010001 ó 0.0100010001
I per acabar, alguns nombres complexes arbitraris, en una taula per que es vegi més clar:
Tingues en compte que aquestes només son només unes de les possibles representacions dels valors.
És més, si anem encara més enllà, podríem neutralitzar 1s amb -1s i is amb -is tantes vegades com volguéssim, de forma que cada valor tindria infinites representacions (l'1 podria ser 11110001.1111, per exemple).
En conclusió, la base imaginària (amb 2 símbols) ens permet escriure una varietat de nombres molt àmplia només amb 0s i 1s, però no és capaç de representar punts intermedis (com 0.5 ó 3.4i).
I aquí acaba l'article.
Espero que hagis après alguna cosa sobre el funcionament de les bases en general i que t'hagis entretingut amb les bases "trenca ments" que he proposat ;)
Adrià Rico Blanes~
18, 1 setze i 2 unitats: 12
19, ··· 13
20, 14
21, 15
22, 16
23, 17
24, 18
25, 19
26, 1 setze i deu unitats: 1A
27, 1 setze i onze unitats: 1B
28, ··· 1C
29, 1D
30, 1E
31, 1F
32, 2 setzes i 0 unitats: 20
Com pots veure, les xifres augmenten més lentament ja que tenim més símbols.
En binari passa tot el contrari, les xifres augmenten molt ràpidament ja que només tenim 2 símbols.
Saltarem els números fraccionaris ja que és el mateix que en binari però amb 1/16, 1/32, 1/64... i es faria molt pesat.
En comptes d'això, analitzarem les similituds entre la base 16 i la base 2 amb una taula:
(El símbol ' s'utilitza com a separador)
Decimal
|
Binari
|
Hexadecimal
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
2
|
10
|
2
|
3
|
11
|
3
|
4
|
100
|
4
|
5
|
101
|
5
|
6
|
110
|
6
|
7
|
111
|
7
|
8
|
1000
|
8
|
9
|
1001
|
9
|
10
|
1010
|
A
|
11
|
1011
|
B
|
12
|
1100
|
C
|
13
|
1101
|
D
|
14
|
1110
|
E
|
15
|
1111
|
F
|
16
|
1'0000
|
1'0
|
17
|
1'0001
|
1'1
|
···
|
||
30
|
1'1110
|
1'E
|
31
|
1'1111
|
1'F
|
32
|
10'0000
|
2'0
|
···
|
||
63
|
11'1111
|
3'F
|
64
|
100'0000
|
4'0
|
···
|
||
127
|
111'1111
|
7'F
|
128
|
1000'0000
|
8'0
|
···
|
||
255
|
1111'1111
|
F'F
|
256
|
1'0000'0000
|
1'0'0
|
Així és, si agrupem els números binaris de quatre en quatre (des de la dreta) i els hexadecimals d'un en un, les seves parts coincideixen.
Per exemple:
1'1010'1101 => 1 en hexadecimal seguit de 1010 en hexadecimal seguit de 1101 en hexadecimal => 1AD
AE4 => A (10) en binari seguit de E (14) en binari seguit de 4 en binari => 1010'1110'0100
Per tant, l'hexadecimal pot representar els números binaris més compactament i d'una forma molt més comprensible per a l'ésser humà, ja que només has de memoritzar els binaris del 0 al 15 i relacionar-los amb els símbols del 0 a la F.
Base unària:
Ara que ja hem explicat algunes de les bases més destacables, començarem amb les bases "estranyes".
La primera que veurem serà la base unària, la base 1.
Les seves dues característiques són:
1.Només tenim un símbol per a representar valors, l'1
2.Si afegim un número a l'esquerra, el seu valor es multiplica per 1, si l'afegim a la dreta, es divideix per 1:
Per tant, només començar ens trobem amb 3 problemes:
1.No podem representar el valor de 0
2.No podem representar valors no enters
3.Tots els números valen igual, estiguin més a la dreta, més a l'esquerra, davant o darrere del punt.
Intentem comptar fins a 5 amb aquestes condicions:
0, no hi ha forma de representar aquest valor en la base unària, per tant s'ha d'expressar com a una operació aritmètica: 1 - 1
1, una unitat: 1
2, dues unitats: 11 ó 1.1
3, tres unitats: 111 ó 1.11 ó 11.1
4, quarte unitats: 1111 ó ···
5, cinc unitats: 11111 ó ···
Com pots veure, hi ha més d'una forma de representar els valors. Per a ser més precisos, el número de formes amb les que es pot representar un valor és aquest mateix valor (El 0 cap forma, l'1 una forma, el 2 dues, etc.)
Si intentem escriure números fraccionaris ens trobarem amb un problema més gros encara:
1/2, 1 unitat es passa, però no tenim res més petit que això, per tant ho hem d'expressar com a una operació: 1/11
5/2, 1 unitat és massa petita, 1 unitat + 1 unitat és massa petit, 1 unitat + 1 unitat + 1 unitat es passa, però nom tenim cap punt mig entre dues i tres unitats, per tant també ho hem d'expressar com a una operació: 11111/11
Així que, resumint, la base unària porta molts problemes i no és recomanable utilitzar-la per a fer càlculs, tot i que sí que l'utilitzem en el dia a dia i és potser la forma de comptar més antiga (encara que no utilitzaven uns sinó pals, rodones o altres símbols).
Bases fraccionàries:
Tot això està molt bé, però per què no ho compliquem una mica més?
Què passa si escollim una base fraccionària, que no sigui sencera, com 2.5?
Si fem això la definició que hem estat utilitzant fins ara queda una mica destruïda, ja que diria que per a la base 2.5 s'utilitzen 2.5 símbols, i això no té cap ni peus.
Però qui ha dit que estàvem considerant "base X" = "X símbols"? En realitat el que consideràvem era "base X" = "arrodonirCapAmunt(X) símbols", així que...
Les dues característiques de la base 2.5 són:
1.Tenim 3 símbols per a combinar (0, 1, 2)
2.Si afegim un número a l'esquerra, el seu valor es multiplica per 2.5, si l'afegim a la dreta, es divideix per 2.5:
Com sempre, provem a comptar amb aquesta configuració, fins a 3 aquesta vegada:
0, tenim un símbol per al 0, per tant l'escrivim directament
1, igual que l'anterior
2, ···
3, no tenim cap símbol per a quantitats més grans que 2, per tant les hem d'indicar com a una suma de 2.5s, 6.25s, etc. Però espera, un 2.5 i 0 unitats (10) és 2.5, i un 2.5 i 1 unitat (11) és 3.5, per tant el 3 és un valor entre 10 i 11, necessitem recórrer als 1/2.5s, 1/6.25s, etc. Ho farem pas a pas:
2.5s: 0 i 1 són massa petits, 2 es passa, així que agafem l'1
1
Ara ens queda 3 - 2.5 = 0.5 per arribar al valor exacte
Unitats: 0 és més petit, 1 es passa així que agafem el 0
10
1/2.5s: 0 és més petit, 1 (0,4) és més petit, 2 (0,8) es passa, així que agafem l'1
10.1
Ara ens queda 0.5 - 0.4 = 0.1
1/6.25s: 0 és més petit, 1 (0.16) es passa, així que agafem el 0
10.10
1/15,625s: 0 és més petit, 1 (0.064) és més petit, 2 (0.128) es passa, així que agafem l'1
10.101
Ara ens queda 0.1 - 0.064 = 0.036
1/39,0625s: 0 és més petit, 1 (0.0256) és més petit, 2 (0.0512) es passa, així que agafem l'1
10.1011
Ara ens queda 0.036 - 0.0256 = 0.0104
1/97,65625s: 0 és més petit, 1 (0.01024) és més petit, 2 (0.02048) es passa, així que agafem l'1
10.10111
Ara ens queda 0.0104 - 0.01024 = 0.00016
······
Com pots veure, amb bases fraccionaries la cosa es complica bastant en quant a càlculs, però el procediment és el mateix que amb qualsevol altre base.
I específicament en la base 2.5, el 3 sembla que sigui... Irracional? Periòdic?
He introduït el càlcul a Wolfram|Alpha, una potent calculadora, i el resultat que he obtingut és el següent:
Amb aquestes 1017 xifres encara no s'arriba al període, així que sospito que és irracional, encara que no ho poc assegurar.
Saltarem els valors fraccionaris perquè és més de la mateixa història i els càlculs s'embolicaran molt.
Així que, en conclusió, les bases fraccionàries no són gens útils per al dia a dia o per a fer càlculs, ja que poden transformar un número tan simple com el 3 en un irracional (o periòdic?), però pot ser que arribin a ser útils com a eines d'encriptació de dades.
Base imaginària:
Per acabar, per si tot això fos poc, ens endinsarem en la base imaginària, la base i.
Primer de tot, què és i? i és l'unitat imaginària, que equival a l'arrel quadrada de -1.
Per tant, ara sí que hem trencat totalment la definició de les bases, perquè quedaria:
En la base "i" tenim arrodonintCapAmunt(i) símbols, i això té encara menys sentit que 2.5 símbols.
Així que imaginarem que els símbols que podem utilitzar són 2, el 0 i l'1, per a indicar si es suma certa quantitat o no.
Definirem la base "i" amb aquestes dues característiques, doncs:
1.Tenim 2 símbols per a representar valors (0, 1)
2.Si afegim un número a l'esquerra, el seu valor es multiplica per i, si l'afegim a la dreta, es divideix per i:
Com que en aquest cas no es veu tan clarament, mirarem cada valor possible segons la posició:
··· | i | 1 | -i | -1 | i | UNITATS | -i | -1 | i | 1 | -i | ···
Com pots veure, el patró es repeteix indefinidament i només tenim 4 valors possibles, però amb ells podem representar qualssevol número enter positiu i negatiu, i qualsevol número complexe de la forma a + bi, sent a i b enters positius o negatius.
Comencem pels enters positius fins al 3:
0, tenim un símbol per al 0, per tant l'escrivim directament
1, igual que l'anterior
2, no tenim cap símbol per a quantitats més grans que 1, per tant les hem d'indicar com a una suma dels valors esmentats anteriorment. En aquest cas son dues unitats, per tant ho podem expressar de dues formes: 10001 (1 unitat, 0 -is, 0 -1s, 0is, 1 unitat) ó 1.0001 (1 unitat, 0 -is, 0 -1s, 0 is, 1 unitat)
3, igual que l'anterior, el podem expressar com a: 100010001 ó 10001.0001 ó 1.00010001
*Nota: Per a veure-ho més clar recomano tenir una tira llarga al costat amb el patró de valors repetit unes quantes vegades.
Ara fem els enters negatius fins al -3:
0, ···
-1, 100 ó 0.01
-2, 1000100 ó 100.01 ó 0.010001
-3, 10001000100 ó 1000100.01 ó 100.010001 ó 0.0100010001
I per acabar, alguns nombres complexes arbitraris, en una taula per que es vegi més clar:
| ···1 | -i | -1 | i | 1 | -i | -1 | i | Unitat | -i | -1 | i | 1··· | |
| i + 1 | 1 | 1 | |||||||||||
| 2i - 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | |||||||
| -3i + 4 | ···1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1. | 1 | 0 | 0 | 1··· |
Tingues en compte que aquestes només son només unes de les possibles representacions dels valors.
És més, si anem encara més enllà, podríem neutralitzar 1s amb -1s i is amb -is tantes vegades com volguéssim, de forma que cada valor tindria infinites representacions (l'1 podria ser 11110001.1111, per exemple).
En conclusió, la base imaginària (amb 2 símbols) ens permet escriure una varietat de nombres molt àmplia només amb 0s i 1s, però no és capaç de representar punts intermedis (com 0.5 ó 3.4i).
I aquí acaba l'article.
Espero que hagis après alguna cosa sobre el funcionament de les bases en general i que t'hagis entretingut amb les bases "trenca ments" que he proposat ;)
Adrià Rico Blanes~
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada